若函数f(x)=x^3-x3a^2+1的图像与直线y=3只有一个公共点则实数a的取值范围是多少

f'(x)=3x^2-3a^2=0
x=a,x=-a
f(x)=3只有一个公共点
则f(x)没有极值或有极值而极大值小于3
显然这里有极值

x=a,x=-a
可以写成x=|a|,x=-|a|
f'(x)=3x^2-3|a|^2
则x<-|a|,x>|a|时，f'(x)>0,f(x)增
-|a|<x<|a|,f(x)减
所以x=-|a|是极大值
f(-|a|)=-|a|^3+3a^2*|a|+1<3
|a|^3=a^2*|a|
所以2a^2*|a|<2
若a<0,-a^3<1,a^3>-1所以-1<a<0
若a>=0,a^3<1,所以0<=a<1

综上
-1<a<1